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2.8 定价模型直觉：Black-Scholes 与二叉树

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边学边练读懂 → 自己算例子 → 答「想一想」→做练一练 A10问 AI 导师本章引导

一句话：Black-Scholes 模型把六个因素变成一个期权价格。二叉树把未来拆成一步步的「涨或跌」，从到期往回倒推，还能处理美式期权的提前行权。两者都建立在一些假设上，而现实经常打破这些假设。

为什么要学：你在券商平台上看到的 IV 和希腊字母，全都是模型算出来的。不知道模型怎么想，就不知道这些数字什么时候可信、什么时候会骗人。本节不推导数学，只讲清输入、输出，以及它在哪里会失灵。

生活类比：导航软件估算到达时间。你输入起点和终点，它根据距离、限速和路况，告诉你「预计 25 分钟到」。它默认车流平稳；一旦前方出了车祸（相当于股价跳空），预计时间就会严重失准。Black-Scholes 就是期权的「导航」。类比的局限：导航会根据实时路况不停修正。Black-Scholes 本身却假设波动率固定不变，市场只能靠调整输入的 IV（以及偏斜）来「修正」它。

细讲：

Black-Scholes：输入与输出

Section titled “Black-Scholes：输入与输出”
  • Black-Scholes 模型（Black-Scholes model）：1973 年由 Fischer Black 和 Myron Scholes 发表的欧式期权定价公式；同年 Robert Merton 也做出了重要扩展。
  • 输入：2.1 的六个因素 S、K、T、σ、r、q。
  • 输出：一个理论价格。顺带还能算出第3章的全部希腊字母。
  • 反过来用：输入市场价格，解出 σ，就是隐含波动率（2.3）。这是它在实务中最常见的用法。
  • 公式如下。你不需要背，也不需要会推导，只要认识每个符号：
C=S e−qT N(d1)−K e−rT N(d2)C = S\,e^{-qT}\,N(d_1) - K\,e^{-rT}\,N(d_2) d1=ln⁡(S/K)+(r−q+σ2/2) TσT,d2=d1−σTd_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}
  • C：call 的理论价格（美元/股）。put 的价格可以用 2.7 的平价关系算出。
  • N(·)：标准正态分布的累积概率（第0章 0.7）。输入一个数，输出「小于这个数的概率」，结果在 0 和 1 之间。
  • N(d2)：在模型的「风险中性」世界里（下面讲二叉树时解释这个词），call 到期变成实值的概率。
  • N(d1)：和第3章的 Delta 密切相关。
  • ln(S/K)：股价离行权价有多远，按对数计算。
  • σ√T：到期前股价的「标准波动距离」，和 2.2 的 √T 规律是同一个东西。
  • 直觉：C ≈「到期时可能拿到的股票价值」−「可能要付出的行权价」。两项都按「可能性」打了折，又按时间折算到了今天。

选读：跟着算一遍（SPY 770C，30 天，σ 15%，r 4%，q 1.2%）：

  1. ln(S/K) ＝ ln(770/770) ＝ 0。
  2. σ√T ＝ 0.15 × √(30/365) ≈ 0.15 × 0.2867 ≈ 0.0430。
  3. d1 ＝ [0 ＋ (0.04 − 0.012 ＋ 0.15² ÷ 2) × 30/365] ÷ 0.0430 ≈ 0.003226 ÷ 0.0430 ≈ 0.0750。
  4. d2 ＝ 0.0750 − 0.0430 ≈ 0.0320。
  5. 查正态分布：N(d1) ≈ 0.52990，N(d2) ≈ 0.51277。这里要多保留几位小数，因为下一步是两个大数相减，小误差会被放大。
  6. C ≈ 769.24 × 0.52990 − 767.47 × 0.51277 ≈ 407.62 − 393.54 ≈ $14.08。769.24 和 767.47 来自 2.7 的例子 1。
  • 实际使用时，用计算器或课程的 bs.py 即可，不需要手算。

二叉树：把未来拆成两条路

Section titled “二叉树：把未来拆成两条路”
  • 二叉树（binomial tree）：假设每过一段时间，股价只有两种走法：涨到某个价，或跌到某个价。画出来像树枝一样一分为二。
  • 从到期日往回倒推：到期时期权值多少一目了然。再按一个特殊的概率求平均、按利率折现，一步步算回今天。
  • 这个特殊的概率叫风险中性概率（risk-neutral probability）：在这个概率下，股票平均只赚无风险利率。
  • 它不是真实世界的概率，而是一个定价工具。按它算出的价格，恰好等于用股票和现金「复制」这张期权的成本（第9章细讲）。这正是 2.7 的无套利定价思路。
  • 美式期权的关键：在每个节点都比较两件事，取较大的那个：
    1. 现在就行权能拿多少（内在价值）；
    2. 继续持有值多少（往后按概率平均，再折现）。
  • 如果「现在行权」更大，就应该提前行权。

两步二叉树：美式 put 什么时候该提前行权

Section titled “两步二叉树：美式 put 什么时候该提前行权”

设定（为了好算，数字故意放大）：

  • 股票今天 $100。每一步要么涨 20%（× 1.2），要么跌 20%（× 0.8）。一共两步。
  • 每一步的利率是 2%：1 美元一步后变成 1.02 美元。
  • 期权：行权价 $100 的 put。

第 1 步：求风险中性概率 p。

  • 条件：一步之后，股票的平均价格要正好等于 100 × 1.02 ＝ $102。
  • 列式：p × 120 ＋ (1 − p) × 80 ＝ 102。
  • 展开：80 ＋ 40p ＝ 102，所以 p ＝ 22 ÷ 40 ＝ 0.55。下跌的概率是 1 − 0.55 ＝ 0.45。

第 2 步：画出股价树。

时间 可能的股价
今天 $100
一步后 $120（涨）或 $80（跌）
两步后 $144（涨涨）、$96（一涨一跌，先后顺序不影响）、$64（跌跌）

第 3 步：到期时 put 的价值（行权价 − 股价，负数记为 0）。

  • 股价 $144 → put 值 0；股价 $96 → 值 $4；股价 $64 → 值 $36。

第 4 步：往回倒推一步。

  • 在 $120 的节点：继续持有 ＝ (0.55 × 0 ＋ 0.45 × 4) ÷ 1.02 ＝ 1.80 ÷ 1.02 ≈ $1.76。现在行权 ＝ 100 − 120 ＜ 0，记为 0。取 $1.76。
  • 在 $80 的节点：继续持有 ＝ (0.55 × 4 ＋ 0.45 × 36) ÷ 1.02 ＝ (2.20 ＋ 16.20) ÷ 1.02 ＝ 18.40 ÷ 1.02 ≈ $18.04。现在行权 ＝ 100 − 80 ＝ $20.00。
  • $20.00 大于 $18.04：美式 put 在这里应该提前行权，取 $20.00。欧式 put 不能提前行权，只能取 $18.04。

第 5 步：倒推回今天。

  • 美式：(0.55 × 1.765 ＋ 0.45 × 20.00) ÷ 1.02 ≈ (0.971 ＋ 9.000) ÷ 1.02 ≈ $9.78。
  • 欧式：(0.55 × 1.765 ＋ 0.45 × 18.04) ÷ 1.02 ≈ (0.971 ＋ 8.118) ÷ 1.02 ≈ $8.91。
  • 差额约 $0.87，就是「可以提前行权」这个权利的价值。

为什么在 $80 的节点要提前行权？

  • 现在行权：马上拿到 $100（卖出一只只值 $80 的股票），这 $100 立刻可以开始生利息。
  • 继续持有：最好是股价跌到 $64，put 值 $36；但也可能涨回 $96，put 只值 $4。按概率平均再折现，不如现在就拿 $20。
  • 这就是 2.1 提到的例外：对深度实值的 put，「早拿到钱」的利息，比「继续等」的希望更值钱。所以欧式深度实值 put 的价格，甚至可能低于内在价值；美式 put 不会，因为大不了立刻行权。
  • 对照 call：同一棵树上，行权价 $100 的美式 call 在 $120 的节点，继续持有约值 $23.73，高于立即行权的 $20，所以不会提前行权。对不派息的股票，美式 call 提前行权通常不划算；实务中 call 的提前行权主要发生在除息日前（第4、7章）。

模型的假设，以及它们在哪里失效

Section titled “模型的假设，以及它们在哪里失效”
模型假设 现实 后果
股价按对数正态分布连续变动 大涨大跌的日子比正态分布预测的多得多 模型低估虚值期权，市场用偏斜来补（2.5）
波动率固定不变 波动率会变，而且会「扎堆」 不同行权价、不同到期日的 IV 各不相同
股价不会跳空 财报、突发新闻会让股价一夜跳过去 事件前的 IV 要单独抬高（2.6）
可以随时、免费地买卖对冲 有买卖价差和手续费，夜里无法交易 做市商要多收一点钱
利率和股息固定、已知 利率会变，股息可能调整 长期期权的误差更大
欧式行权 美股个股和 ETF 期权都是美式 要用二叉树等方法处理提前行权
可以自由卖空 有的股票难借券 平价关系出现偏差（2.7）
  • 对数正态分布（lognormal distribution）：股价取对数之后服从正态分布。直观上，股价不会跌到负数，而且上涨的空间比下跌的大。
  • 肥尾（fat tails）：分布两头的极端情况，比正态分布预测的多。
  • 波动率聚集（volatility clustering）：大波动之后常常跟着大波动，小波动之后常常跟着小波动。
  • 跳空（gap）：股价在两次成交之间，直接跳到一个新价位，中间的价格根本没有成交过。
  • 业内有句玩笑：隐含波动率是「把错误的数字放进错误的公式，得到正确的价格」。意思是：大家都知道模型不完美，但把它当作价格和 IV 之间的「翻译器」非常好用。

肥尾有多肥

Section titled “肥尾有多肥”
  • 按正态分布，一天涨跌超过 ±3σ，大约 370 个交易日才出现一次，约 1.5 年一次。
  • 超过 ±5σ，大约要等上几千年。
  • 现实中：1987 年 10 月 19 日，标普 500 一天跌了约 20%；2025 年 4 月 9 日，标普 500 一天涨了约 9.5%。
  • 如果按平常约 1% 的日波动来算，这分别是约 20σ 和 9.5σ 的事件。正态分布认为它们几乎不可能发生，现实却在几十年里都遇到了。
  • 这就是训练题 1 最后一问的方向：越极端，现实与正态分布的差距越大；超过 3σ 的日子，比正态分布预测的多得多。

例子（示例价格，非实时）：

  1. 输入 → 输出：SPY 770C，S ＝ 770、K ＝ 770、T ＝ 30/365、σ ＝ 15%、r ＝ 4%、q ＝ 1.2%。
    • Black-Scholes 输出约 $14.08，和报价 $14.10 一致。
    • 模型给出 N(d2) ≈ 0.51：在风险中性的意义下，到期实值的概率约 51%。
  2. 输出 → 输入（反推 IV）：NVDA 30 天 300C 报 $0.35。
    • 把价格和另外五个因素代进去，反解出 σ ≈ 50%。
    • 比近平值的 230C（约 40%）高出约 10 个百分点：这是个股虚值 call 一侧「嘴角翘起」的样子（2.5 的微笑）。
  3. IV 输入错了，价格就差很远：SPY 30 天 725P 的市场报价是 $3.00，对应 IV 约 20%。
    • 如果你偷懒，用平值的 15% 去算，模型只给出约 $1.04。
    • 差了将近两倍。模型本身没错，错在输入：偏斜告诉你，这个行权价要用 20% 左右的 IV。
  4. 欧式深度实值 put 低于内在价值：假设某股票从 $340 跌到 $200，1 年期、行权价 $340 的欧式 put（IV 25%，r 4%，股息率 0.3%）。
    • 内在价值 ＝ 340 − 200 ＝ $140。
    • Black-Scholes 给出约 $127.84，比内在价值还低约 $12。
    • 原因：欧式 put 要等 1 年才能拿到 $340，折现之后就少了一截。美式 put 可以马上行权拿 $140，所以它的价格不会低于 $140。

动手试一试：改变股价、剩余天数和 IV，看 Black-Scholes 价格和实值概率 N(d2) 怎样跟着变；把标的换成 SPY，可以对照本节的 770C 例子。

交互图需要启用 JavaScript。

常见误区：

  • 「Black-Scholes 算出来的就是期权的『正确价格』。」——它只是一组假设下的理论价。市场价格说了算，模型只是翻译器。
  • 「风险中性概率就是真实概率。」——不是。它是定价用的工具，真实世界的概率可能完全不同。
  • 「模型不完美，所以没用。」——它是全行业共用的「语言」，IV 和希腊字母都靠它来表达。关键是知道它在哪里会失灵。
  • 「美式 call 经常被提前行权。」——对不派息的股票通常不划算；主要发生在除息前的深度实值 call（第7章）。

想一想：

  1. Black-Scholes 的 6 个输入里，哪个在实务中通常是「反推」出来的？（答：波动率 σ，反推结果就是 IV。）
  2. 在上面的二叉树里，如果每步利率是 0%，$80 节点的美式 put 还值得提前行权吗？（答：p ＝ (1 − 0.8) ÷ (1.2 − 0.8) ＝ 0.5；继续持有 ＝ 0.5 × 4 ＋ 0.5 × 36 ＝ $20，和立即行权的 $20 一样，提前行权没有好处。利率越高，提前行权越有吸引力。）
  3. 为什么说偏斜是市场给 Black-Scholes「打的补丁」？（答：模型假设波动率固定、没有肥尾；市场给虚值 put 更高的 IV，把崩盘风险补回价格里。）

关键术语：

中文 English 白话解释
Black-Scholes 模型 Black-Scholes model 把六个因素变成欧式期权理论价格的公式
二叉树 binomial tree 把未来拆成一步步「涨或跌」、从到期往回倒推的定价方法
风险中性概率 risk-neutral probability 让股票平均只赚无风险利率的定价用概率
提前行权 early exercise 在到期之前行使美式期权
对数正态分布 lognormal distribution 股价取对数后呈正态分布，股价不会为负
肥尾 fat tails 极端涨跌比正态分布预测的多
波动率聚集 volatility clustering 大波动之后常跟着大波动
跳空 gap 股价在两次成交之间直接跳到新价位

练一练

学完这一节，先独立算下面的题，再展开参考答案核对。做错了就点「收进错题本」，到「复习」页按第 1、3、7 天重做；错因照样记进你自己的错题本。

A10【2.8 二叉树】一步二叉树：股票 $100，一步后要么 $110、要么 $90，每步利率 2%。求风险中性概率 p，以及行权价 $100 的欧式 call 的价值。

参考答案
  1. 风险中性概率：p ＝ (1.02 − 0.90) ÷ (1.10 − 0.90) ＝ 0.12 ÷ 0.20 ＝ 0.6。
  2. 验算：0.6 × 110 ＋ 0.4 × 90 ＝ 66 ＋ 36 ＝ 102 ＝ 100 × 1.02，股票平均只赚 2% 的利息。
  3. call 到期时：股价 $110 时值 110 − 100 ＝ $10；股价 $90 时值 $0。
  4. 今天的价值 ＝ (0.6 × 10 ＋ 0.4 × 0) ÷ 1.02 ＝ 6 ÷ 1.02 ≈ $5.88。

换一组数字再练

题目参数每次随机生成，答完点「检查」即时判对错。价格是示例、不是实时行情；答数量时按提示的单位填写，亏损或下跌填负数。

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