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US Stock Options: From Beginner to Master

0.7 概率、期望值与正态分布：胜率、赔率与钟形曲线

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边学边练读懂 → 自己算例子 → 答「想一想」→做练一练 A10问 AI 导师本章引导

一句话：期望值把「每种结果的概率 × 盈亏」加起来，它决定长期是赚是亏。所以胜率高不等于赚钱。正态分布用平均数和标准差描述结果，68–95–99.7 规则让你快速估算区间；但真实市场的极端涨跌，比它预测的多得多。

为什么要学：卖出期权的策略，胜率常常有 70%–90%，却可能长期亏钱。这正是十条纪律第 8 条说的「高胜率不等于正期望」。期权定价模型假设价格变化接近正态分布。第2章用它算「预期波动」，第3章用它把一个叫 Delta 的指标（衡量期权价格跟着股价变动多少）近似成概率。本节是这些内容的地基。

生活类比：保险公司。它每年向很多人收一小笔保费，大多数年份不用赔（高概率、小赚）；偶尔遇上大灾，要一次赔一大笔（低概率、大亏）。它能长期赚钱，是因为算准了「概率 × 金额」，把保费定得够高。而且它的保单分散在成千上万个互不相干的人身上。类比的局限：保险公司的风险分散在很多独立的人身上；而市场大跌时，你卖出的期权往往一起亏（第8章讲「相关性」）。

细讲：

概率：可能性有多大

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  • 概率（probability）：某件事发生的可能性，在 0（不可能）到 1（一定发生）之间，也常写成百分比。
  • 抛硬币得到正面：1/2 ＝ 50%。掷骰子得到 6 点：1/6 ≈ 16.7%。
  • 所有可能结果的概率加起来，一定等于 1（100%）。所以「不发生」的概率 ＝ 1 − 「发生」的概率。
  • 硬币和骰子的概率是已知的。市场里的概率却要靠估计，而且会变。这是交易比赌桌更难的地方。

概率从哪里来

Section titled “概率从哪里来”
  • 理论：硬币、骰子的结构决定了概率，算得出来，也不会变。
  • 历史频率：过去 100 次里发生了 30 次，就估计概率约 30%。但历史不一定重演，样本太少时误差很大。
  • 市场价格：期权的价格里「藏着」市场对各种结果的概率估计。第3章会教你从期权价格读出这种概率，也会告诉你它和真实概率的区别。
  • 赌徒谬误（gambler’s fallacy）：以为「连续 5 次正面，下一次该出反面了」。每次抛硬币都是独立的，下一次仍是 50%。同理，「连跌 5 天，明天一定反弹」也没有根据。

期望值：长期平均每次赚多少

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  • 期望值（expected value，EV）：把每种结果的「概率 × 盈亏」加起来。它代表重复很多次后，平均每次的结果。
  • 先用文字：一个游戏有几种结果，就分别算出每种结果的「概率乘盈亏」，再全部加起来。
  • 再看公式：
EV=p1×x1+p2×x2+⋯+pn×xnEV = p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2 + \cdots + p_n \times x_n
  • 符号说明：p₁、p₂……是每种结果的概率；x₁、x₂……是对应的盈亏（赚为正、亏为负）；EV 是期望值。
  • 只有「赚」和「亏」两种结果时，公式简化为：期望值 ＝ 胜率 × 平均盈利 − 败率 × 平均亏损。第8章会反复用它。
  • 大数定律（law of large numbers）：重复的次数越多，平均结果越接近期望值。次数少的时候，运气说了算。
  • 期望值为正，也可能连输好几次；期望值为负，也可能连赢好几次。所以不能用最近几次的输赢，判断一个策略好不好。

胜率和赔率要一起看

Section titled “胜率和赔率要一起看”
  • 胜率（win rate）：赚钱的次数占总次数的比例。
  • 赔率（payoff ratio，也叫盈亏比）：平均每次赚的钱 ÷ 平均每次亏的钱。
  • 胜率高、赔率低，可能是亏钱的游戏；胜率低、赔率高，也可能是赚钱的游戏。只看其中一个，一定会被骗。
  • 期权里最常见的陷阱：卖出离现价很远的期权，大多数时候能赚一点小钱，这是胜率高。偶尔遇上大行情就亏一大笔，这是赔率低。第5章的「77% 胜率」就是一个例子。

正态分布与 68–95–99.7 规则

Section titled “正态分布与 68–95–99.7 规则”
  • 正态分布（normal distribution）：一种钟形的分布。中间最多，越往两边越少，左右对称。身高、测量误差等很多现象都接近它。
  • 只要两个数，就能画出一条正态分布。平均数决定钟的中心，标准差决定钟有多宽。
  • 68–95–99.7 规则：
    • 约 68% 的结果，落在平均数 ±1 个标准差（±1σ）之内。
    • 约 95% 的结果，落在 ±2σ 之内。
    • 约 99.7% 的结果，落在 ±3σ 之内。
  • 由此还能推出：高于 ＋1σ 的机会约 16%，低于 −1σ 的机会也约 16%，因为（100% − 68%）÷ 2 ＝ 16%。高于 ＋2σ 的机会约 2.5%。
  • 用在股价上：年化波动率就是「一年」的标准差。SPY 按 $770、年化波动率 15% 计，一年后的 1σ ＝ 770 × 15% ＝ $115.5。下图画出了这个例子。
按示例参数计算 · SPY $770、年化波动率 15%、正态近似 · 非实时
按示例参数计算 · SPY $770、年化波动率 15%、正态近似 · 非实时
  • 读图：中间最深的一段是 ±1σ，约 68% 的可能落在 $654.5–$885.5；加上两侧较浅的部分是 ±2σ，约 95% 落在 $539–$1,001。
  • 这里做了简化：把价格的分布画成左右对称。真实的定价模型用「对数正态分布」，向上的空间略大于向下（第2章细讲）。

肥尾：真实市场比钟形曲线更极端

Section titled “肥尾：真实市场比钟形曲线更极端”
  • 肥尾（fat tails）：真实市场的涨跌分布，两端的「尾巴」比正态分布更肥。特别大的涨跌，出现得比正态分布预测的多得多，而且越极端，差距越大。
  • 按正态分布，单日涨跌超过 ±3σ，约 370 个交易日才有一次（约 1.5 年）；超过 ±4σ，约 63 年一次；超过 ±5σ，约 6,900 年一次。
  • 真实的标普 500：1987 年 10 月 19 日单日跌约 20%；2020 年 3 月 16 日单日跌约 12%；2025 年 4 月 9 日单日涨约 9.5%。按平时约 1% 的日标准差算，这些都是 9σ 以上的事件。按正态分布，它们几乎永远不会发生；现实中却在几十年里发生了好几次。
  • 肥尾从哪里来？隔夜的突发消息造成跳空；大波动之后往往跟着大波动（0.6 讲的波动聚集）；恐慌时大家同时抢着卖。
  • 对期权的意义：
    1. 卖出期权最怕肥尾。平时的小赚，可能被一次极端行情全部吞掉。
    2. 离现价很远的看跌期权，市场价往往比正态分布算出的更贵。因为大家愿意为「崩盘」多付钱（第2章「偏斜」）。
    3. 仓位要按「最坏情况」定，而不是按「正常情况」定（第8章）。

例子（示例价格，非实时）：

  1. 抛硬币游戏：正面赢 $10，反面输 $10。
    • 期望值 ＝ 0.5 × 10 ＋ 0.5 × (−10) ＝ 5 − 5 ＝ $0。玩再多次，平均也不赚不亏。
    • 如果正面赢 $12：期望值 ＝ 0.5 × 12 − 0.5 × 10 ＝ ＋$1。每玩一次，平均赚 $1。
  2. 骰子游戏（高胜率陷阱）：掷出 1–5 点你赢 $10，掷出 6 点你输 $60。
    • 胜率 ＝ 5/6 ≈ 83%，看起来很诱人。
    • 期望值 ＝ 5/6 × 10 − 1/6 × 60 ≈ 8.33 − 10 ＝ −$1.67（每次）。
    • 玩 600 次，平均大约亏 600 × 1.67 ≈ $1,000。
  3. 同一个游戏，6 点只输 $40：
    • 期望值 ＝ 5/6 × 10 − 1/6 × 40 ≈ 8.33 − 6.67 ＝ ＋$1.67（每次）。
    • 胜率没变，只是亏损变小，游戏就从亏钱变成赚钱。决定输赢的是「概率 × 金额」的平衡。
  4. 用 68–95–99.7 规则估算区间（接上图）：SPY $770，年化波动率 15%，1σ ＝ $115.5。
    • 68% 区间：770 − 115.5 ＝ $654.5 到 770 ＋ 115.5 ＝ $885.5。
    • 95% 区间：2σ ＝ 231，所以是 $539 到 $1,001。
    • 99.7% 区间：3σ ＝ 346.5，所以是 $423.5 到 $1,116.5。
    • 一年后高于 $885.5 的机会约 16%；低于 $654.5 的机会也约 16%。
  5. 肥尾的代价：一个策略每月赚 $200，已经连续 11 个月。第 12 个月遇上一次 5σ 的暴跌，亏了 $5,000。
    • 全年结果 ＝ 11 × 200 − 5,000 ＝ −$2,800。
    • 按正态分布，这种暴跌「几千年一次」；在真实市场里，它可能几年就来一次。
  6. 用期望值看一笔期权交易（预告，概率为假设）：你花 $2.00 买一张期权。假设到期时有 30% 的机会值 $6.00，70% 的机会一文不值。
    • 到期价值的期望 ＝ 0.3 × 6.00 ＋ 0.7 × 0 ＝ $1.80。
    • 期望盈亏 ＝ 1.80 − 2.00 ＝ −$0.20 每股，一张合约（100 股）就是 −$20。
    • 如果你觉得「值 $6 的机会」其实有 40%，期望就变成 0.4 × 6.00 − 2.00 ＝ ＋$0.40。结论完全取决于你对概率的估计，而这正是交易最难的地方。

常见误区：

  • 「胜率 80% 的策略一定赚钱。」——要看赔率。80% 胜率配上 1 : 5 的赔率，就是亏钱的策略。
  • 「期望值为正，这次一定赚。」——期望值是长期平均。短期结果由运气主导；仓位太大，可能等不到长期就出局了。
  • 「3σ 的事件几乎不会发生。」——在真实市场里，它们比正态分布预测的常见得多。
  • 「正态分布说明价格迟早会回到平均数。」——它描述的是各种结果的可能性，不是「一定会回来」的承诺。
  • 「已经连跌 5 天，明天反弹的概率更大。」——这是赌徒谬误。过去的涨跌不会让下一天「欠」你一次上涨。

想一想：

  1. 一个游戏：70% 的机会赢 $30，30% 的机会输 $80。期望值是多少？（答：0.7 × 30 − 0.3 × 80 ＝ 21 − 24 ＝ −$3，长期亏钱。）
  2. 某股票 $100，年化波动率 30%。按正态近似，一年后 68% 与 95% 的区间各是多少？（答：1σ ＝ $30；68% 区间 $70–$130；95% 区间 $40–$160。）
  3. 为什么「连赢 10 次」不能证明一个策略有正期望？（答：次数太少，运气主导；高胜率、低赔率的策略本来就常常连赢，直到遇上一次大亏。）

关键术语：

中文 English 白话解释
概率 probability 事情发生的可能性，在 0 到 1 之间
期望值 expected value（EV） 各结果「概率 × 盈亏」之和，长期平均每次的结果
大数定律 law of large numbers 次数越多，平均结果越接近期望值
赌徒谬误 gambler’s fallacy 误以为独立事件会「轮流出现」，如连输后该赢了
胜率 win rate 赚钱次数占总次数的比例
赔率 / 盈亏比 payoff ratio 平均盈利 ÷ 平均亏损
正态分布 normal distribution 中间多、两边少、左右对称的钟形分布
68–95–99.7 规则 68–95–99.7 rule 约 68%、95%、99.7% 的结果落在 ±1σ、±2σ、±3σ 内
对数正态分布 lognormal distribution 定价模型用的价格分布，向上空间略大于向下（第2章）
肥尾 fat tails 极端涨跌比正态分布预测的更常见

练一练

学完这一节，先独立算下面的题，再展开参考答案核对。做错了就点「收进错题本」，到「复习」页按第 1、3、7 天重做；错因照样记进你自己的错题本。

A10【0.7 期望值】一个游戏：90% 的机会赢 $20，10% 的机会输 $250。期望值是多少？它的胜率高吗？值得玩吗？

参考答案
  1. 期望值 ＝ 0.9 × 20 − 0.1 × 250 ＝ 18 − 25 ＝ −$7（每次）。
  2. 胜率 90% 很高，但赔率很差：赢一次 $20，输一次 $250。
  3. 长期每玩一次平均亏 $7，不值得玩。

换一组数字再练

题目参数每次随机生成，答完点「检查」即时判对错。价格是示例、不是实时行情；答数量时按提示的单位填写，亏损或下跌填负数。

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