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US Stock Options: From Beginner to Master

0.8 复利、e、对数与「时间的平方根」

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边学边练读懂 → 自己算例子 → 答「想一想」→做练一练 A11、A12问 AI 导师本章引导

一句话：复利是「利息也生利息」；把计息的间隔切得无限小，就得到常数 e ≈ 2.718；ln 把「变成了几倍」翻译成「连续增长率」；而随机涨跌的散开范围，按「时间的平方根」增长——时间变成 4 倍，范围只变成 2 倍。

为什么要学：期权定价公式里处处是 e、ln 和 √T。你不需要推导它们，但要知道它们代表什么，并会用计算器算。最重要的是「时间的平方根」。它解释了为什么期权的时间价值在最后几周衰减得最快（第2章），也告诉你怎样从年化波动率算出「一段时间内可能涨跌多少」。

生活类比：

  • 复利像滚雪球：雪球越大，每滚一圈粘上的雪就越多。
  • 时间的平方根像「醉汉走路」。一个喝醉的人站在路中间，每一步随机向左或向右。走 100 步后，他通常只离起点 10 步左右，而不是 100 步，因为向左和向右会互相抵消。
  • 类比的局限：雪球会被地形挡住，而复利要求收益长期稳定才成立。股价也不是纯粹的醉汉：它长期略有向上的趋势，会突然跳空，每一步的大小也在变。

细讲：

复利：利息也生利息

Section titled “复利：利息也生利息”
  • 单利（simple interest）：只对最初的本金计息。
  • 复利（compound interest）：每期的利息加进本金，下一期连同利息一起计息。
  • 时间越长，复利和单利的差距越大（见例子 1）。
  • 0.5 讲的「简单年化」没有考虑复利。考虑复利的年化叫复利年化。例如 30 天赚 2%，复利年化 ＝ 1.02 的（365 ÷ 30）次方 − 1 ≈ 27.2%，比简单年化的 24.3% 更高。

e 是怎么来的：从一年算一次到每天算一次

Section titled “e 是怎么来的：从一年算一次到每天算一次”
  • 同样的年利率，一年计息的次数越多，年底拿到的钱越多。
  • 做个思想实验：$1，年利率 100%。一年算一次，年底得 2；分两次算，每次 50%，年底得 1.5 × 1.5 ＝ 2.25。
一年计息次数 年底金额（$1，年利率 100%）
1 次 2.0000
2 次 2.2500
4 次（每季） 2.4414
12 次（每月） 2.6130
365 次（每天） 2.7146
无限多次 2.71828…… ＝ e
  • 计息次数越多，结果越大，但增长越来越慢，最后停在一个极限上。这个极限就是 e（欧拉数，Euler’s number），约等于 2.71828。
  • 连续复利（continuous compounding）：计息间隔无限小时的复利。本金 P、年利率 r、经过 T 年：
A=P×erTA = P \times e^{rT}
  • 符号说明：A 是到期金额；P 是本金；r 是年利率（小数，4% 写成 0.04）；T 是年数；e ≈ 2.71828。
  • 实际利率不高时，连续复利只比每年复利多一点点（见例子 2）。金融模型爱用它，是因为计算方便。

72 法则：心算翻倍要多久

Section titled “72 法则：心算翻倍要多久”
  • 72 法则（rule of 72）：本金翻倍大约需要的年数 ≈ 72 ÷ 年利率（按百分数的数字算）。
  • 年利率 4%：72 ÷ 4 ＝ 18 年。精确值约 17.7 年。年利率 8%：约 9 年。
  • 它来自 ln 2 ≈ 0.693：翻倍需要的「连续增长」总量是 69.3%，72 只是更好除的近似数。
  • 反过来用：一个号称「每年赚 36%」的方案，按 72 法则约 2 年翻一倍（精确约 2.25 年）；连续 10 年就是 1.36¹⁰ ≈ 21.6 倍。这么好的事，先怀疑它，再看风险。
  • 注意：利率越高，72 法则越不准，它只适合心算估计。

折现：未来的钱今天值多少

Section titled “折现：未来的钱今天值多少”
  • 折现（discounting）：把未来的一笔钱，换算成今天的价值。反过来想：今天存多少钱，到期正好变成那笔钱？
  • 现值（present value，PV）：未来那笔钱在今天的价值。连续复利下：
PV=F×e−rTPV = F \times e^{-rT}
  • 符号说明：PV 是现值；F 是未来的金额；r 是年利率；T 是距离现在的年数。
  • 直觉：利率越高、时间越长，未来的钱在今天越不值钱。0.1 说「利率上升时股价常常承压」，原因之一就在这里。
  • 第2章有一个把看涨、看跌期权价格联系起来的公式（看涨看跌平价），里面有一项 K × e^(−rT)。它就是「行权价 K（期权约定的买卖价格）的现值」。

ln：把「几倍」变成「连续增长率」

Section titled “ln：把「几倍」变成「连续增长率」”
  • ln（自然对数，natural logarithm）：回答「e 要几次方，才能得到这个数」。例如 e 的 0.04 次方约是 1.0408，所以 ln(1.0408) ≈ 0.04。
  • 金融里只要记一句话：ln(新价 ÷ 旧价) ＝ 这段时间的「连续增长率」。这叫对数收益率（log return）。
  • 对数收益率有两个好处：
    1. 可以直接相加：几天的对数收益率加起来，就是整段时间的对数收益率。普通收益率要连乘才行（0.5）。
    2. 涨跌对称：翻倍是 ln 2 ≈ ＋69.3%，腰斩是 ln 0.5 ≈ −69.3%，正好相反。
  • 涨跌很小时，两者几乎相同：涨 1% 的对数收益率 ＝ ln(1.01) ≈ 0.995%。所以第2章用「日对数收益率」算波动率，和 0.6 用普通日收益率算，结果几乎一样。
  • 计算器怎么按：
    • 手机计算器横过来，通常会出现「eˣ」和「ln」键。算 e^0.04：先输 0.04，再按 eˣ。算 ln(1.1)：先输 1.1，再按 ln。
    • 电子表格：=EXP(0.04)、=LN(1.1)、=SQRT(252)。

时间的平方根：散开范围怎样随时间变大

Section titled “时间的平方根：散开范围怎样随时间变大”
  • 随机游走（random walk）：每一步随机向上或向下，每一步和前一步无关。股价的短期涨跌常被近似成随机游走。
  • 抛硬币走路：正面向前一步，反面后退一步。
    • 走 1 步，通常离起点 1 步。
    • 走 4 步，通常离起点约 2 步。
    • 走 9 步，约 3 步；走 100 步，约 10 步。
  • 为什么是平方根？每一步的方差是 1。0.6 讲过，互不影响的波动，方差可以相加。所以 n 步之后，方差 ＝ n，标准差 ＝ √n。
  • 用到股价上：从今天起、经过 T 年，股价的 1σ 涨跌范围约为
EM1σ=S×σ×T\text{EM}_{1\sigma} = S \times \sigma \times \sqrt{T}
  • 符号说明：EM 是预期波动（expected move），这里指 1 个标准差的涨跌幅度（美元）；S 是现在的股价；σ 是年化波动率；T 是年数（T ＝ 天数 ÷ 365）。第2章会正式使用这个公式。
  • 按交易日还是日历日：0.6 用一年 252 个交易日算日波动，这里的 T 用日历天数 ÷ 365。两种算法都是「时间的平方根」，只是时间单位不同，结果会略有差别。例如 AAPL（$340，年化波动率 25%）一周的 1σ：按日历日算 340 × 0.25 × √(7/365) ≈ $11.8；按 5 个交易日算 5.36 × √5 ≈ $12.0。第2章统一用日历日。
  • 下图用 SPY 画出这件事：起点 $770，年化波动率 15%。
按示例参数计算 · SPY $770、年化波动率 15%、正态近似 · 细线为随机模拟路径 · 非实时
按示例参数计算 · SPY $770、年化波动率 15%、正态近似 · 细线为随机模拟路径 · 非实时
  • 读图：3 个月时，±1σ 是 ±$57.75；1 年时是 ±$115.5。时间是 4 倍，范围只有 2 倍。
  • 图里的三条细线是随机模拟出来的走势，不是真实行情。它们大多数时候在深色带里，偶尔跑到外面，这和 0.7 的「约 32% 的时候在 ±1σ 之外」相符。

为什么这对期权重要

Section titled “为什么这对期权重要”
  1. 期权的时间价值，来自「到期前股价还可能跑多远」。而跑多远，大约和剩余时间的平方根成正比。
  2. 所以平值期权的时间价值大约 ∝ √剩余时间。剩余时间降到 1/4，时间价值约减半（第2章 2.2）。
  3. 把上图从右往左看，就是时间价值消失的过程。从剩 1 年到剩 3 个月，范围只少了一半；剩下的一半，要在最后 3 个月里消失，而且越接近到期消失得越快。
  4. 这也是为什么买期权的人最怕「最后几周」。卖期权的人则要小心那时的剧烈波动（第3章）。

例子（示例价格，非实时）：

  1. 单利与复利：$10,000，年利率 4%，存 10 年。
    • 单利：10,000 ＋ 10,000 × 4% × 10 ＝ $14,000。
    • 每年复利：10,000 × 1.04¹⁰ ≈ $14,802.44，比单利多约 $802。
    • 连续复利：10,000 × e^(0.04 × 10) ＝ 10,000 × e^0.4 ≈ $14,918.25。
  2. 计息越频繁，钱越多，但多得有限：$10,000，年利率 4%，存 1 年。
    • 每年一次：$10,400.00；每季一次：$10,406.04；每月一次：$10,407.42。
    • 每天一次：$10,408.08；连续复利：10,000 × e^0.04 ≈ $10,408.11。
    • 从每年一次到连续复利，只多了 $8.11。
  3. 折现：半年后你会收到 $100，年利率 4%。
    • T ＝ 0.5，rT ＝ 0.04 × 0.5 ＝ 0.02。
    • PV ＝ 100 × e^(−0.02) ≈ 100 × 0.9802 ＝ $98.02。
    • 意思是：今天的 $98.02，按 4% 连续复利存半年，正好变成 $100。
  4. 对数收益率可以相加：股价从 $100 涨到 $110，再跌到 $99。
    • 第一段：ln(110 ÷ 100) ＝ ln 1.1 ≈ ＋9.53%（普通收益率 ＋10%）。
    • 第二段：ln(99 ÷ 110) ＝ ln 0.9 ≈ −10.54%（普通收益率 −10%）。
    • 相加：9.53% − 10.54% ＝ −1.01%。换回普通收益率：e^(−0.0101) ≈ 0.99，也就是 −1%。和 0.5「先涨后跌不回本」的结果完全一致。
  5. 用 √时间 估算 SPY 的 1σ 范围（$770，年化波动率 15%，一年 1σ ＝ $115.5）：
时间 年数 T √T 1σ 范围
1 周 7/365 0.1385 115.5 × 0.1385 ≈ ±$16.0
3 个月 1/4 0.5 115.5 × 0.5 ＝ ±$57.75
6 个月 1/2 0.7071 115.5 × 0.7071 ≈ ±$81.67
1 年 1 1 ±$115.5
  1. 时间与期权价格：同时买一张 SPY 平值看涨期权（按 $770 买入的权利）和一张平值看跌期权（按 $770 卖出的权利）。两张的合计价格用 Black-Scholes 模型按示例参数核算。
    • 30 天到期：约 14.10 ＋ 12.30 ＝ $26.40。
    • 120 天到期：约 $52.67。
    • 时间是 4 倍，价格约是 52.67 ÷ 26.40 ≈ 2.0 倍，正好是 √4 ＝ 2。

常见误区：

  • 「时间多一倍，可能的波动范围也多一倍。」——只多约 41%，因为 √2 ≈ 1.41。
  • 「ln 和 e 很高深，交易用不上。」——ln 就是「连续增长率」，e 就是「连续复利的倍数」，计算器一键就能算。
  • 「连续复利比每年复利多很多。」——利率 4% 时，每 $10,000 一年只多 $8.11。
  • 「期权每天损失的时间价值都一样。」——不对。越接近到期，每天损失得越多（第2、3章）。

想一想：

  1. 股票从 $50 涨到 $100。普通收益率和对数收益率各是多少？（答：普通收益率 100%；对数收益率 ln 2 ≈ 69.3%。）
  2. 时间变成 9 倍，1σ 范围变成几倍？（答：√9 ＝ 3 倍。）
  3. 一年后到期的 $1,000，按年利率 4% 连续复利折现，今天值多少？（答：1,000 × e^(−0.04) ≈ 1,000 × 0.9608 ＝ $960.79。）

关键术语：

中文 English 白话解释
单利 simple interest 只对本金计息
复利 compound interest 利息加入本金，下一期一起计息
e（欧拉数） Euler’s number（e） 约 2.71828，连续复利一年、利率 100% 时的倍数
连续复利 continuous compounding 计息间隔无限小的复利，A ＝ P × e^(rT)
72 法则 rule of 72 翻倍年数 ≈ 72 ÷ 年利率（百分数）
折现 discounting 把未来的钱换算成今天的价值
现值 present value（PV） 未来一笔钱在今天的价值
自然对数 natural logarithm（ln） e 要几次方才得到这个数；金融上即连续增长率
对数收益率 log return ln(新价 ÷ 旧价)，可以直接相加
随机游走 random walk 每一步随机上下、彼此无关的走法
时间的平方根法则 square-root-of-time rule 波动范围按 √时间 增长
预期波动 expected move 一段时间内 1 个标准差的涨跌幅度

练一练

学完这一节，先独立算下面的题，再展开参考答案核对。做错了就点「收进错题本」，到「复习」页按第 1、3、7 天重做；错因照样记进你自己的错题本。

A11【0.8 复利】$10,000 按年利率 4% 存 3 年。每年复利一次和连续复利，各得多少？（提示：e^0.12 ≈ 1.1275）

参考答案
  1. 每年复利：10,000 × 1.04³ ＝ 10,000 × 1.124864 ＝ $11,248.64。
  2. 连续复利：10,000 × e^(0.04 × 3) ＝ 10,000 × e^0.12 ≈ 10,000 × 1.1275 ＝ $11,275（精确值 $11,274.97）。
  3. 两者只差约 $26。

A12【0.8 时间的平方根】某股票 $200，年化波动率 30%。一年、3 个月（1/4 年）、1 个月（按 1/12 年）的 1σ 涨跌范围，各约多少美元？

参考答案
  1. 一年的 1σ ＝ 200 × 30% ＝ $60。
  2. 3 个月：60 × √(1/4) ＝ 60 × 0.5 ＝ $30。
  3. 1 个月：60 × √(1/12) ≈ 60 × 0.2887 ≈ $17.32。
  4. 时间从 1 年缩到 1 个月（1/12），范围只缩到约 29%，不是 1/12。

换一组数字再练

题目参数每次随机生成，答完点「检查」即时判对错。价格是示例、不是实时行情；答数量时按提示的单位填写，亏损或下跌填负数。

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