2.7 平价关系与合成仓位

边学边练读懂 → 自己算例子 → 答「想一想」→做练一练 A9 问 AI 导师本章引导

一句话：同一行权价、同一到期日的 call 和 put，被一条「看涨看跌平价关系」锁在一起。知道其中一个的价格，就能算出另一个；用它们还能「拼」出股票。

为什么要学：

它是检查报价的尺子。call 和 put 的价格对不上时，要么有你没注意到的因素（股息、借券费、提前行权），要么有人报错了价。
它能让你看穿很多策略的本质。第4章的「备兑看涨 ≈ 卖出看跌」、第5章的借贷方价差等价和箱体价差，都是它的直接推论。
它解释了为什么难借券股票的 put 会贵得离谱。

生活类比：快餐店有两个套餐。套餐 A 是「汉堡＋薯条」，套餐 B 是「汉堡券＋薯条券」，到了取餐时拿到的东西一模一样。那么今天两个套餐的标价就应该一样。如果 A 卖 $10、B 卖 $8，聪明人会买 B、再把同样的东西按 A 的价卖出去，白赚 $2，直到两个价格被拉平。类比的局限：现实中餐券不一定能转卖。期权市场里的「白赚」，也会被手续费、借券成本和执行风险吃掉。

细讲：

先看直觉：两个组合，到期一模一样

组合甲：买 1 张 call（行权价 K），再存一笔钱。这笔钱到期时连本带利，正好是 K。
组合乙：买 1 张 put（同一个 K、同一到期日）＋持有股票。
为了好算，下面都按「每股」说：组合甲是 1 份 call 加现金，组合乙是 1 份 put 加 1 股。
到期时逐一检查：

到期股价	组合甲：call ＋现金	组合乙：put ＋股票
高于 K，例如 K ＋ 20	call 值 20，现金 K，共 K ＋ 20	put 值 0，股票 K ＋ 20，共 K ＋ 20
等于 K	call 值 0，现金 K，共 K	put 值 0，股票 K，共 K
低于 K，例如 K − 20	call 值 0，现金 K，共 K	put 值 20，股票 K − 20，共 K

结论：无论股价在哪，两个组合到期的价值完全一样。
所以今天它们的价格也必须一样。否则就能「买便宜的、卖贵的」，不承担风险就锁定利润。这种行为叫套利（arbitrage）。
市场上有大量专业机构在找这种机会，所以明显的套利空间通常一出现就被抹平。
这种「到期结果一样，今天就该一样贵」的思路，叫无套利定价（no-arbitrage pricing）。它是整个期权定价的基石，2.8 的二叉树用的也是它。

再写成公式

组合甲今天的成本：C ＋「K 的现值」。现值（present value）是指：将来的一笔钱，折算到今天值多少。
组合乙今天的成本：P ＋ S。如果股票在到期前派息，持股的人能拿到股息，所以要把股价打个折。
令两者相等，移项，就得到欧式期权的平价关系：

C - P = S\,e^{-qT} - K\,e^{-rT}

C：call 价格；P：put 价格。两者行权价相同、到期日相同，单位美元/股。
S：股价。
S e^(−qT)：扣掉到期前股息之后的「股价」。持股才有股息，持期权没有。
K e^(−rT)：K 的现值。今天存这么多钱，按利率 r 连续复利（第0章 0.8），到期正好变成 K。
r：无风险利率；q：股息率；T：到期时间（年）。
一个推论：对平值期权（S ＝ K），当利率高于股息率时，右边大于 0，所以平值 call 通常比平值 put 贵一点。这就是 2.5 里「没有偏斜时，同距离的 call 反而略贵」的原因。
另一个推论：平价成立时，同一行权价、同一到期日的 call 和 put，隐含波动率应该相同。平台上两者的 IV 差很多，就要找原因。

合成仓位：用期权「拼」出股票

合成仓位（synthetic position）：用期权组合出来的仓位，有时还要加上股票。它的到期损益和另一种资产相同。
把平价关系移项，得到四种常用「拼法」：

想要的仓位	合成方法（同一 K、同一到期日）	到期损益像
合成多头	买 call ＋卖 put	以 K 买入股票
合成空头	卖 call ＋买 put	以 K 卖空股票
合成 call	持股＋买 put	买入 call（第4章的保护性看跌就是它）
合成 put	卖空股票＋买 call	买入 put

合成多头（synthetic long）的直觉：股价上涨，call 赚钱；股价下跌，卖出的 put 亏钱。涨跌都跟着股票走，就像拿着股票。
为什么合成多头很便宜？因为你没有现在就付 K，而是「将来才付 K」。你省下的利息，正是它价格的主要来源。
训练题 11 会让你用同样的方法，推出第4章的一个重要结论。

转换与反转：做市商的套利工具

转换（conversion）：买股票＋买 put ＋卖 call（同一 K）。到期时一定以 K 卖出股票，结果完全锁定，相当于赚无风险利率。当 call 相对偏贵时，做转换能多锁定一点利润。
反转（reversal）：卖空股票＋卖 put ＋买 call。当 put 相对偏贵时使用，是转换的反向操作。
普通投资者很少做这两种交易：多条腿的手续费、买卖价差和借券成本，通常会吃掉几美分的差价。
它们的意义在于：做市商不停地做这些交易，平价关系才会几乎一直成立。

平价为什么会「看似失效」

股息：预期股息越多，call 越便宜、put 越贵（2.1）。公式里的 e^(−qT) 已经考虑了股息。如果你忘了算股息，就会以为平价失效了。
借券费：想卖空股票，要先借到股票，并支付借券费（borrow fee：借股票的「租金」，按年化百分比计算）。
- 难借券（hard-to-borrow）的股票，可借的数量少，借券费可能高达年化几十甚至上百个百分点。
- 这时，需要卖空股票的反转套利做不成或太贵，put 就可以一直偏贵，call 一直偏便宜。
- 效果就像多了一份「股息」：计算时把借券费率加到 q 上。
美式提前行权：美式期权多了一个「随时可以行权」的权利。
- 深度实值的 put 可能被提前行权，为的是早点拿到 K 去生利息。例如股价跌到 $200 时，行权价 $340 的美式 put 持有人提前行权，马上就能拿到 $340 开始生息（2.8 的二叉树会算给你看）。
- 实值的 call 可能在除息日前被提前行权，为的是拿到股息（第4、7章）。
- 这些权利有价值，所以美式期权的平价从「等号」变成了「一个范围」。实际价格通常离欧式公式不远，但会有几美分到几毛钱的偏差。
报价本身：买卖价差、两边报价没有同时更新、成交稀少的合约，都会让平价看起来对不上。

例子（示例价格，非实时）：

用 SPY 核对平价：SPY $770，30 天 770C 报 $14.10，770P 报 $12.30。
- 左边：C − P ＝ 14.10 − 12.30 ＝ $1.80。
- 右边第一项：S e^(−qT) ＝ 770 × e^(−0.012 × 30/365) ≈ 770 × 0.99901 ≈ $769.24。
- 右边第二项：K e^(−rT) ＝ 770 × e^(−0.04 × 30/365) ≈ 770 × 0.99672 ≈ $767.47。
- 右边：769.24 − 767.47 ≈ $1.77。
- 左右只差 $0.03，在报价取整和美式特征的误差之内。平价基本成立。
合成多头的成本从哪来：AAPL $340，30 天 340C 报 $10.25，340P 报 $9.20。
- 买 340C、卖 340P，净付 10.25 − 9.20 ＝ $1.05/股，一组 $105（另需保证金）。
- 到期时无论 AAPL 在哪，这组仓位的盈亏都是 (到期股价 − 340 − 1.05) × 100，和「以 $341.05 买入 100 股」一样。
- 验算两个价位：到期 $360 时，call 值 $20，卖出的 put 作废，每股 20 − 1.05 ＝＋$18.95；到期 $320 时，call 作废，卖出的 put 亏 $20，每股 −20 − 1.05 ＝ −$21.05。两种情况都等于「以 $341.05 买入股票」的盈亏。
- 为什么要付 $1.05？因为你晚付了 $340。30 天的利息约 340 × (1 − e^(−0.04 × 30/365)) ≈ $1.12。
- 但你拿不到这 30 天的股息，约 $0.08。1.12 − 0.08 ≈ $1.04，和 $1.05 基本一致。
发现错价：转换套利。一只不派息股票的欧式期权，S ＝ $50，K ＝ $50，r ＝ 4%，T ＝ 1 年。
- 第 1 步：K 的现值＝ 50 × e^(−0.04) ≈ $48.04。
- 第 2 步：平价要求 C − P ＝ 50 − 48.04 ＝ $1.96。
- 第 3 步：市场报价 C ＝ $7.40、P ＝ $4.90，C − P ＝ $2.50，比平价多 $0.54：call 相对偏贵。
- 第 4 步：做转换（每股）。买 1 股付 $50.00；买 put 付 $4.90；卖 call 收 $7.40。合计付出 50.00 ＋ 4.90 − 7.40 ＝ $47.50。
- 第 5 步：按 4% 借入 $48.04，1 年后连本带利还 $50.00。今天手里多出 48.04 − 47.50 ＝ $0.54。
- 第 6 步：到期时，股价高于 50，call 被行权，你按 50 卖出股票；股价低于 50，你行使 put，按 50 卖出。无论哪种都拿到 $50，正好还清借款。
- 结果：每股锁定 $0.54，每组 100 股 $54（扣费前）。如果反过来是 put 偏贵，就把每一步反过来做（反转）。训练题 5 让你自己练。
难借券：某股票 $50，年化借券费 30%，60 天期平值期权，r ＝ 4%，不派息。
- 正常情况：C − P ＝ 50 − 50 × e^(−0.04 × 60/365) ≈ 50 − 49.67 ＝ $0.33。
- 把借券费当作股息率：C − P ≈ 50 × e^(−0.30 × 60/365) − 49.67 ≈ 47.59 − 49.67 ≈ −$2.08。
- 也就是说，put 比 call 贵 $2.08，合成多头不但不用付钱，反而能收钱。
- 和正常情况相比，差了约 0.33 −（−2.08）＝ $2.41，大致等于 60 天的借券成本：50 × 30% × 60 ÷ 365 ≈ $2.47。
- 这不是送钱。想用「卖空股票＋买合成多头」赚这笔差价，你就得付这笔借券费，还要承担股票被召回等风险（训练题 10）。

常见误区：

「call 和 put 各有各的价格，互不相干。」——同一 K、同一到期日的 call 和 put，被平价关系绑在一起。
「合成多头只花 $1.05，比买股票便宜得多，风险也小。」——它的盈亏和持有 100 股一模一样。下跌时，卖出的 put 会让你亏得和持股一样多，还要占用保证金。
「put 比 call 贵很多，一定有套利机会。」——先查股息、借券费、美式行权和报价质量。
「美式期权也严格满足平价公式。」——只是近似。提前行权的可能会让它有偏差。
「合成多头几乎不用付钱，所以没有利息成本。」——利息已经算在 call 和 put 的价差里了。例子 2 里的 $1.05，主要就是 $340 的 30 天利息。

想一想：

欧式、不派息：S ＝ $100，K ＝ $100，K 的现值＝ $97.00，P ＝ $5.00。按平价，C 约多少？（答：C ＝ P ＋ S − K 的现值＝ 5.00 ＋ 100 − 97.00 ＝ $8.00。）
「卖 call ＋买 put」（同一 K、同一到期日）相当于什么仓位？（答：合成空头，到期损益像以 K 卖空股票。）
一只股票的 put 异常贵、call 异常便宜，最可能的原因是什么？（答：股票难借、借券费很高；也可能是市场预期有大额股息。）

关键术语：

中文	English	白话解释
看涨看跌平价	put-call parity	同 K、同到期的 call 与 put 价格之间的固定关系
套利	arbitrage	不承担风险就锁定利润的交易
无套利定价	no-arbitrage pricing	到期结果相同的两个组合，今天的价格也应相同
现值	present value（PV）	将来的一笔钱折算到今天值多少
合成仓位	synthetic position	用期权组合出与另一种资产损益相同的仓位
合成多头	synthetic long	买 call ＋卖 put，到期损益像持有股票
转换	conversion	买股＋买 put ＋卖 call，锁定到期价值
反转	reversal	卖空股票＋卖 put ＋买 call，转换的反向
借券费	borrow fee	借股票卖空要付的「租金」
难借券	hard-to-borrow（HTB）	可借数量少、借券费很高的股票

练一练

学完这一节，先独立算下面的题，再展开参考答案核对。做错了就点「收进错题本」，到「复习」页按第 1、3、7 天重做；错因照样记进你自己的错题本。

A9【2.7 平价关系】欧式、不派息：S ＝ $80，K ＝ $80，r ＝ 4%，T ＝ 1 年（K 的现值 ≈ $76.86），call 报 $9.00。按平价关系，put 约多少？

参考答案

不派息的欧式平价：C − P ＝ S − K 的现值。
移项：P ＝ C − S ＋ K 的现值＝ 9.00 − 80 ＋ 76.86 ＝ $5.86。
验算：C − P ＝ 9.00 − 5.86 ＝ $3.14，S − K 的现值＝ 80 − 76.86 ＝ $3.14，两边相等。

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