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美股期权：从入门到精通

0.6 平均数、波动与标准差：用一个数说清「忽高忽低」

边学边练读懂 → 自己算例子 → 答「想一想」→做练一练 A9问 AI 导师本章引导

一句话：平均数告诉你「中心在哪里」，标准差告诉你「通常离中心有多远」；把股票每日涨跌的标准差换算成一年，就是第2章的「波动率」。

为什么要学：波动率是期权价格最重要的输入之一。NVDA 的期权比 SPY 的贵得多，主要原因就是 NVDA 的波动率（示例 40%）远高于 SPY（示例 15%）。本节教你亲手算出这个数。以后看到「IV 25%」，你就知道它在说什么。

生活类比：两个学生的五次考试成绩。

  • 小明：78、79、80、81、82，平均 80 分。
  • 小红：60、70、80、90、100，平均也是 80 分。
  • 下一次考试，你更有把握猜中谁的分数？小明总在 80 分附近，小红却忽高忽低。
  • 标准差，就是把「忽高忽低的程度」变成一个数：小明约 1.4 分，小红约 14.1 分。
  • 类比的局限：成绩的高低，常能找到原因，比如努力程度和题目难度；股票的每日涨跌更接近随机，而且偶尔会冒出一次特别大的波动（0.7 讲「肥尾」）。

细讲：

平均数：中心在哪里

Section titled “平均数：中心在哪里”
  • 平均数（mean）：所有数加起来，再除以个数。
  • 平均数只告诉你中心，不告诉你「散得多开」。小明和小红的平均数相同，稳定程度却完全不同。
  • 在投资里，只看平均收益，会漏掉最重要的信息：路上会颠簸成什么样。

离差、方差与标准差

Section titled “离差、方差与标准差”
  • 离差（deviation）：每个数减去平均数，看它偏离中心多少。有正有负。
  • 如果把离差直接平均，正负会互相抵消，结果永远是 0。所以要先把离差平方，全部变成正数。
  • 方差（variance）：离差平方的平均数。
  • 标准差（standard deviation）：方差开平方，常用希腊字母 σ 表示，读作「西格玛」。
  • 为什么还要开平方？因为平方把单位也平方了，变成「分²」或「%²」。开方后单位变回「分」或「%」，才能和原来的数直接比较。
  • 手算标准差的五步：
    1. 求平均数。
    2. 每个数减去平均数，得到离差。
    3. 把每个离差平方。
    4. 求这些平方的平均数（除以个数），得到方差。
    5. 把方差开平方，得到标准差。
  • 把五步写成公式（先懂五步，再看公式）：
σ=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \cdots + (x_n-\bar{x})^2}{n}}
  • 符号说明：x₁、x₂……xₙ 是每个数据；x̄（读作「x 拔」）是平均数；n 是数据个数；σ 是标准差。
  • 除以 n 还是 n − 1：用一小组数据去估计整体时，统计软件常改为除以 n − 1。这叫样本标准差，结果略大一点。数据越多，两者差别越小。本课程手算统一除以 n。
  • 电子表格里：STDEV.P 是除以 n，STDEV.S 是除以 n − 1。
  • 一个常见的计算错误：单位混用。例子 2 的收益率若写成小数（0.02、−0.01……），方差是 0.0002，标准差是 0.0141，也就是 1.41%。若写成百分数（2、−1……），标准差直接是 1.41（%）。同一列里不要一会儿写 2%、一会儿写 0.02。

为什么要平方，而不用绝对值

Section titled “为什么要平方，而不用绝对值”
  • 另一个办法是把离差取绝对值再平均，叫平均绝对离差（mean absolute deviation）。它也能衡量分散程度，而且更好懂。
  • 金融里却几乎都用标准差。关键原因只有一个：互不影响的波动，方差可以直接相加。
  • 例如，两天的涨跌互不影响。两天合起来的方差，等于第一天的方差加上第二天的方差。绝对离差没有这么好用的性质。
  • 正是这条性质，让我们能从「一天的波动」推出「一年的波动」，也就是下面的 √252。
  • 平均数会骗人，气温也一样。两座城市平均气温都是 25°C：一座四季温差很小，一座冬冷夏热。只看平均数，你会以为两地天气一样。

标准差的直觉

Section titled “标准差的直觉”
  • 标准差越大，数据越分散，越难预测下一个数。
  • 大致可以理解为：「一个典型的数，离平均数有多远」。
  • 它不是最大偏离。数据里常常有比 1 个标准差更远的数，0.7 会告诉你大约多常见。

从每日涨跌到年化波动率

Section titled “从每日涨跌到年化波动率”
  • 日收益率（daily return）：今天收盘价相对昨天收盘价的涨跌幅。
  • 波动率（volatility）：收益率的标准差。为了方便比较，通常换算成「一年」来报，叫年化波动率。
  • 换算规则：年化波动率 ≈ 日标准差 × √252。一年大约有 252 个交易日，√252 ≈ 15.87，粗算可以当成 16。
  • 为什么是乘 √252，而不是乘 252？因为每天的涨跌有正有负，会互相抵消一部分。能按天相加的是方差，不是标准差。一年的方差 ≈ 252 × 每天的方差；开平方后，一年的标准差 ≈ √252 × 每天的标准差。0.8 会用「时间的平方根」把这个道理讲透。
  • 反过来：日标准差 ≈ 年化波动率 ÷ 15.87，粗算就是除以 16。第2章把它叫作「16 法则」。
  • 精确地说，第2章会用「对数收益率」（0.8 讲）来计算。每天涨跌不大时，两者几乎一样。
  • 历史波动率（historical volatility，HV）：用过去一段时间的实际价格算出来的波动率。它也叫实现波动率。

用电子表格算一只股票的波动率

Section titled “用电子表格算一只股票的波动率”
  1. A 列填日期，B 列填每天的收盘价（至少 21 个交易日，约一个月）。
  2. C 列算日收益率：在 C3 输入 =B3/B2-1（这里的减号要用键盘上的半角减号），然后往下拖。
  3. 在任一格输入 =STDEV.S(C3:C22)，得到日标准差。
  4. 再乘以 √252：输入 =STDEV.S(C3:C22)*SQRT(252)，得到年化的历史波动率。
  • 用 20 天的数据算出的是「最近一个月」的波动率；用 252 天的数据，算出的是「最近一年」的。窗口不同，结果可能差很多。

波动率本身也会变

Section titled “波动率本身也会变”
  • 市场有平静期，也有动荡期。平静时，SPY 一天涨跌不到 0.5% 很常见；恐慌时，一天涨跌 3%–5% 也会接连出现。
  • 大波动之后往往跟着大波动，这叫波动聚集（volatility clustering）。
  • 所以「过去一个月很平静」不保证下个月也平静。0.3 讲的 VIX 指数，就是市场对未来 30 天波动的实时估计。
  • 期权交易的核心问题之一是：现在期权里包含的波动（IV）大，还是之后真正发生的波动（HV）大？第2、6章会反复讨论。

和期权的联系：σ 就是波动率

Section titled “和期权的联系：σ 就是波动率”
  • 隐含波动率（implied volatility，IV）：从期权的市场价格反推出来的「市场认为的年化波动率」。第2章细讲。
  • 本课程的示例 IV：SPY 15%，AAPL 25%，NVDA 40%。同样一个月，NVDA 通常的涨跌幅度约是 SPY 的 40 ÷ 15 ≈ 2.7 倍。
  • 波动越大，期权越贵。股价越爱大起大落，「权利」就越可能派上用场。卖方也就要求更多的钱（见例子 4）。
  • 以后你会反复做两件事：比较 HV 和 IV，判断期权「贵」还是「便宜」（第2、6章）。

例子（示例价格，非实时）：

  1. 小明和小红的标准差（两人平均都是 80 分）：
    • 小明的离差：−2、−1、0、1、2；平方：4、1、0、1、4；平方和 ＝ 10。
    • 小明的方差 ＝ 10 ÷ 5 ＝ 2；标准差 ＝ √2 ≈ 1.41 分。
    • 小红的离差：−20、−10、0、10、20；平方：400、100、0、100、400；平方和 ＝ 1,000。
    • 小红的方差 ＝ 1,000 ÷ 5 ＝ 200；标准差 ＝ √200 ≈ 14.14 分。
    • 平均数一样，小红的标准差却是小明的 10 倍。
  2. 手算一只股票的日波动：5 天的日收益率是 ＋2%、−1%、＋3%、0%、＋1%。
    • 第一步，平均数：（2 − 1 ＋ 3 ＋ 0 ＋ 1）÷ 5 ＝ 5 ÷ 5 ＝ 1%。
    • 第二步，离差：2 − 1 ＝ ＋1；−1 − 1 ＝ −2；3 − 1 ＝ ＋2；0 − 1 ＝ −1；1 − 1 ＝ 0。
    • 第三步，平方：1、4、4、1、0（单位是 %²）。
    • 第四步，方差：（1 ＋ 4 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 0）÷ 5 ＝ 10 ÷ 5 ＝ 2。
    • 第五步，标准差：√2 ≈ 1.41%，这是「每天」的标准差。
    • 换成年化：1.41% × 15.87 ≈ 22.4%，介于 SPY（15%）和 AAPL（25%）的示例 IV 之间。
  3. 从年化波动率反推每天的正常波动：
    • NVDA：40% ÷ 15.87 ≈ 2.52%；按 $225 算，约 225 × 2.52% ≈ $5.67。
    • AAPL：25% ÷ 15.87 ≈ 1.575%；按 $340 算，约 340 × 1.575% ≈ $5.36。
    • 意思是：一个「普通」的交易日，NVDA 涨跌 $5–6 很平常；比这大得多的日子也会有，但少见。
  4. 波动率高，期权就贵：比较两张 30 天后到期、行权价等于现价的看涨期权（第1章叫「平值」）。价格用第2章的 Black-Scholes 模型按示例参数核算。
    • SPY 770C 约 $14.10，占股价 14.10 ÷ 770 ≈ 1.8%。
    • NVDA 225C 约 $10.64，占股价 10.64 ÷ 225 ≈ 4.7%。
    • NVDA 的波动率是 SPY 的 2.7 倍，期权价格占股价的比例约是 2.6 倍。两者几乎成正比。

常见误区：

  • 「平均收益高就好。」——平均一样时，波动大的更难拿得住，也更可能出现大亏。
  • 「标准差就是最大可能的涨跌。」——不是。超过 1 个标准差的情况，大约每 3 次就有 1 次（0.7 讲）。
  • 「年化波动率 ＝ 日波动 × 252。」——是乘 √252，约等于乘 16。
  • 「波动率高，说明股票要跌。」——波动率只说幅度，不说方向。
  • 「过去一个月很平静，以后也会平静。」——波动率会变，平静之后可能突然变大（波动聚集）。

想一想：

  1. 三个数 2、4、6 的标准差是多少（除以个数）？（答：平均 4；离差 −2、0、2；平方 4、0、4；方差 8 ÷ 3 ≈ 2.67；标准差 ≈ 1.63。）
  2. 一只股票的日标准差是 1.5%，年化波动率约多少？（答：1.5% × 15.87 ≈ 23.8%。）
  3. 一只股票连续 5 天都上涨 1%，它的标准差是多少？这说明什么？（答：平均 1%，离差全是 0，标准差为 0。标准差衡量的是「波动」，不是「涨了多少」。）

关键术语：

中文 English 白话解释
平均数 mean 所有数之和除以个数，代表中心
离差 deviation 每个数减去平均数，看偏离多少
方差 variance 离差平方的平均数
标准差 standard deviation（σ） 方差开平方，一个典型的数离平均有多远
样本标准差 sample standard deviation 除以 n − 1 的标准差，用小样本估计整体时常用
平均绝对离差 mean absolute deviation 离差取绝对值后的平均数，另一种衡量分散的方法
日收益率 daily return 今天收盘相对昨天收盘的涨跌幅
波动率 volatility 收益率的标准差，衡量涨跌幅度的大小
年化波动率 annualized volatility 换算成一年的波动率，约等于日标准差 × 16
历史波动率 historical volatility（HV） 用过去实际价格算出的波动率
隐含波动率 implied volatility（IV） 从期权价格反推出的、市场认为的波动率
波动聚集 volatility clustering 大波动之后往往跟着大波动，平静期也会连成一片

练一练

学完这一节，先独立算下面的题，再展开参考答案核对。做错了就点「收进错题本」，到「复习」页按第 1、3、7 天重做；错因照样记进你自己的错题本。

A9【0.6 标准差】某股票 5 天的日收益为 ＋3%、−1%、＋1%、−3%、0%。求平均数和标准差（除以 5），再换算成年化波动率。

参考答案
  1. 平均数 ＝（3 − 1 ＋ 1 − 3 ＋ 0）÷ 5 ＝ 0%。
  2. 离差：3、−1、1、−3、0。
  3. 平方：9、1、1、9、0，合计 20。
  4. 方差 ＝ 20 ÷ 5 ＝ 4。
  5. 标准差 ＝ √4 ＝ 2%（每天）。
  6. 年化波动率 ≈ 2% × 15.87 ≈ 31.7%。

换一组数字再练

题目参数每次随机生成，答完点「检查」即时判对错。价格是示例、不是实时行情；答数量时按提示的单位填写，亏损或下跌填负数。

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